লগারিদম্-এর ধারণা (concept of logarithm)

ব্যবহারিক ভূগোলে বিশেষ করে তথ্যের লৈখিক উপস্থাপনের (representation of graphical information) ক্ষেত্রে লগারিদম স্কেল ব্যবহৃত হয়। তাই ভূগোল শিক্ষার্থীদের লগারিদম ও লগারিদম স্কেল সম্পর্কে প্রাথমিক ধারণার প্রয়োজন রয়েছে।

আমরা জানি, 2 ³ = 2 × 2 ×2 = 8 ,এখানে 2 কে বলে নিধান (base) আর ওকে বলে সূচক (index)। অর্থাৎ ভাষায় বলা যায় বেস 2 এর ও ইনডেক্স হল ৪। এখন প্রশ্ন হল- বেস 2 কে কোন ইনডেক্সে উন্নীত করলে ৪ পাওয়া যায়? উত্তর হবে ও এবং এখন অপর প্রশ্ন হল-② 2 বেস-এর সাপেক্ষে ৪-এর লগারিদমের মান কত? উত্তর হবে ও। অতএব উক্ত তথ্যটিকে প্রকাশ করা যায় log_2(8) = 3 অর্থাৎ (2 ^ 3 = 8) । বিভিন্ন বেস-এর সাপেক্ষে একই লগারিদম বিভিন্ন হয়। log_8(64) = 2 ln(64) = 3, log_12(64) = 12 ইত্যাদি।

লগারিদম-এর সংজ্ঞা (definition of logarithm)

① একটি ধনাত্মক রাশিকে কোন ঘাতে উন্নীত করলে যদি অপর একটি ধনাত্মক রাশির সমান হয়, তবে ওই ঘাতের সূচককে প্রথম রাশির বেসের সাপেক্ষে দ্বিতীয় রাশির লগারিদম (logarithm) বলে।

② একটি প্রদত্ত ধনাত্মক রাশির লগারিদম হল অপর একটি ধনাত্মক রাশির ঘাতের সূচক (index of power), যাকে উন্নীত করলে প্রদত্ত রাশিটি পাওয়া যায়।

লগারিদম-এর বৈশিষ্ট্য

(characteristics of logarithm)

(1)যে কোনো ধনাত্মক সংখ্যার নির্দিষ্ট নিধান (বেস)-এর সাপেক্ষে লগারিদমের মান একটিই হয়।

(2) যে কোনো ঋণাত্মক সংখ্যার লগারিদম হয় না বা অবাস্তব বা কাল্পনিক সংখ্যা।

(3)কোনো লগারিদমের নিধান (বেস) এক (1) হয় না, কারণ এক (1)-এর যে কোনো ঘাতের (power) মান সবসময় এক (1) হয়।

(4)যে কোনো নিধানের (বেসের) সাপেক্ষে লগারিদমের মান শূন্য (০) হয়, কারণ x ^ 0 = 1(x > 0) অতএব log_x(1) = 0

(5) যে কোনো ধনাত্মক সংখ্যাকে লগারিদমের নিধান (বেস) ধরা হলেও এক (1) ধনাত্মক সংখ্যাকে ধরা যায় না।

(6) 'দশ' (10) ধনাত্মক সংখ্যা (সাধারণ লগারিদম) এবং 'e' নামক অমূলদ সংখ্যা (নোপারিয়ান লগারিদম) এই দুটি নিধান (বেস) এর ব্যবহার বেশি 'e'-এর আসন্ন মান হল 2.71828

লগারিদম নির্ণয় পদ্ধতি

(determination of logarithm)

কোনো সংখ্যার লগারিদম নির্ণয় করতে হলে নিম্নলিখিত বিষয়গুলি মনে রাখতে হবে। যথা-

(1) যদি কোনো একটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা হয় তাহলে logx কে লেখা যায়, logx characteristic of x + mantissa of x অর্থাৎ logx = x-এর বিশেষক অংশক। এর

(2)লগারিদম নির্ণয়ে কোনো কিছু উল্লেখ না থাকলে বেস (base) সর্বদা (দশ) ধরে নিতে হবে।

(3)বিশেষক (characteristics) হল একটি সংখ্যা যা -এর সাপেক্ষে ধনাত্মক (1-এর বেশি) বা ঋণাত্মক (1-এর কম) হতে পারে।

(4) কোনো ধনাত্মক সংখ্যার বিশেষক (characteristic) নির্ণয় করা হয় দশমিকের বামদিকে যতগুলি সংখ্যা আছে তার থেকে এক (1) কম ধরে। ধরা যাক, 600.2 ধনাত্মক সংখ্যার দশমিকের বামদিকে 3 টি সংখ্যা আছে তাহলে বিশেষক (characteristic) হবে (+3-1=+2) অর্থাৎ 3-1-21

(5) আবার কোনো ঋণাত্মক সংখ্যার বিশেষক (characteristic) নির্ণয় করা হয় দশমিকের ডানদিকে কতগুলি শূন্য (0) আছে তা গণনা করে। তারপর তার সঙ্গে এক (1) যোগ করলে বিশেষক পাওয়া যায়। ধরা যাক, 0.00098 সংখ্যার দশমিকের পর ও টি শূন্য (০) আছে তাহলে বিশেষক (characteristics) হবে (-3+1=-2) অর্থাৎ-3+1= -21

(6) অংশক (mantissa) সর্বদা standard log table থেকে নির্ণয় করা হয়।

(7)log table-এ সারি (row) বরাবর 10 থেকে 99 পর্যন্ত পরপর সংখ্যাগুলি লেখা থাকে আর স্তম্ভ (column) বরাবর 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 সংখ্যাগুলি লেখা থাকে। এই স্তম্ভের (column) পরেও আরো একটি ছোটো স্তম্ভ(column) থাকে থাকে বলা হয় গড় পার্থক্য (mean difference)

(8)অংশক (mantissa) নির্ণয় করতে হলে প্রথমে একটি নির্দিষ্ট সারি (row)-কে দেখতে হবে তারপর গড় পার্থক্য (mean difference)-এর মানটি যোগ করতে হবে।

(9)আংশক (mantissa) সর্বদা অঋণাত্মক (non-negative) সংখ্যা হয় যা সর্বদা এক-এর চেয়ে কম।

(10)অংশক (mantissa) নির্ণয় করতে হলে দশমিক বিন্দুর অবস্থান (position)-কে গুরুত্ব দেওয়া হয় না।

উদাহরণ (example)

ধনাত্মক সংখ্যার (1-এর বেশি) লগারিদম নির্ণয়-ধরা যাক, 500.2 সংখ্যার লগারিদম হিসাবের জন্য 

ধাপ-(1): প্রথমে বিশেষক (characteristic) নির্ণয় করা 500.2 সংখ্যার দশমিকের বামদিকে 3 টি সংখ্যা আছে তাই characteristic হবে 3-1=2/

ধাপ-(2): এরপর অংশক (mantissa) নির্ণয় করা। এর জন্য 500.2 সংখ্যাটি log table-এ পড়তে হবে। log table-এ 50-এর সারিটি (row) ও শূন্য (০) জন্তু (column) বরাবর যে মান দেবে সেটি হল 69897।

ধাপ-(3): এবার গড় পার্থক্য (mean difference) এর লগ টেবিল দেখতে হবে। গড় পার্থক্য-এর টেবিল-এ 50 সারি (row) বরাবর স্তম্ভ (column) 2-তে রয়েছে 17। অতএব, অংশক (mantissa) হল 69897 +17 69914 0.69914 (mantissa সর্বদা অঋণাত্মক সংখ্যা হয় যা সর্বদা 1-এর চেয়ে কম হয়)

ধাপ-(4): সবশেষে log of 500.2 অর্থাৎ

 log500.2 characteristic of 500.2+ 

Mantissa of 500.2 

=2+0.69914

 =2.69914

ঋণাত্মক সংখ্যার (1-এর কম) লগারিদম নির্ণয়- ধরা যাক, 0.0009887 সংখ্যার লগারিদম হিসাবের জন্য-

ধাপ-(1): প্রথমে বিশেষক (characteristic) নির্ণয় করা। 0.0009887 সংখ্যার দশমিকের ডানদিকে ও টি শূন্য (0) আছে তাই characteristic হবে 3+1=4 অর্থাৎ-4।

ধাপ-(2): এরপর অংশক (mantissa) নির্ণয় করা। এর জন্য 0.0009887 সংখ্যাটি log টেবিলে পড়তে হবে। log table-এ ৭৪ সারি (row)-এর ৪ নম্বর স্তম্ভে (column) যে মান দেবে সেটি হল 99476 |

ধাপ-(3): এবার গড় পার্থক্য (mean difference) এর লগ টেবিল দেখতে হবে। গড় পার্থক্য-এর টেবিল-এ 98 সারি (row) বরাবর 7 নম্বর স্তম্ভে (column)-রয়েছে 31। অতএব, অংশক (mantissa) হল 99476 + 31 = 99507 বা 0.99507 (mantissa সর্বদা অঋণাত্মক সংখ্যা হয় যা সর্বদা 1-এর চেয়ে কম হয়)

ধাপ-(4): সবশেষে log of 0.0009887 অর্থাৎ 

log0.0009887= characteristic of 0.0009887

 + Mantissa of 0.0009887 

=-4+0.99507

 =-3.00493